La transformée de Fourier analyse le "contenu fréquentiel" d'un signal.
Ses nombreuses propriétés la rendent adaptée à l'étude des opérateurs linéaires stationnaires, notamment la dérivation.
C'est une représentation globale du signal.
La transformée de Fourier de f dans L2 est
La transformée de Fourier inverse représente f comme une sommation de sinusoïdes:
La transformée de Fourier possède de nombreuses propriétés algébriques. En particulier, les sinusoïdes sont des vecteurs propres de l'opérateur différentiel.
Cette dernière propriétés permet à la transformée de Fourier de donner des indications sur la régularité globale d'un signal.
La transformée de Fourier rapide sépare les fréquences paires des fréquences impaires lors du calcul d'une transformée de Fourier discrète pour diminuer le nombre d'opérations.
La transformée de Fourier est une représentation globale du signal. Elle ne permet pas d'analyser son comportement fréquentiel local, ni sa régularité locale. La condition de convergence sur la transformée de Fourier n'indique que le pire ordre de singularité. Elle ignore les régularités locales.
Il existe néanmoins une définition de la fréquence instantanée d'un signal analytique.
Celle-ci n'est pas utilisable en pratique car elle ne sait pas gérer la superposition de fréquences. Cela constitue nénamoins un moyen pratique de synthèse de signaux pour des expériences numériques.
Pour discriminer chacune des fréquences superposées, on est amené à faire un analyse fréquentielle localisée non seulement en temps mais également en fréquence. Cela suppose de comprendre la localisation temps-fréquence d'un signal.