MINES ParisTech CAS - Centre automatique et systèmes

Calcul récursif complet de l'inverse à gauche de la transformée en ondelettes discrète invariante par translation, pour un jeu de données fini.

Calcul récursif de frame inverse sur la transformée en ondelettes dyadique
Auteur: Benoît Bourrel. Dowload PDF
La transformée en ondelettes dyadique permet d’analyser des propriétés importantes du signal. Elle présente l’intérêt d’être invariante par translation: les résultats produits ne dépendent pas de l’instant courant. Malheureusement, une suite quelconque de nombres ne s’interpr`ete pas forcément comme la transformée d’un signal. Par conséquent, un certain nombre d’opérations fort utiles (régularisation, débruitage) effectuées sur la transformée en ondelettes peuvent aboutir à un objet qui ne s’interprète pas directement comme la représentation d’un signal. Pour récupérer malgré tout un signal, on cherche le signal dont la transformée en ondelettes est la plus proche des données. Cette opération s’appelle ”frame inverse”; elle s’effectue en résolvant un problème de moindres carrés. Habituellement, cette solution est calculée sur l’ensemble du signal. Cela n’est pas adapté à un environnement temps réel, où les données ne cessent d’arriver et doivent être traitées au fur et à mesure. Or de nombreuses applications du traitement du signal nécessitent de traiter les données au fur et à mesure de leur arrivée.
Ce rapport présente une méthode de calcul de frame inverse qui est à la fois récursive en temps et en échelle. L’algorithme fournit à chaque instant et à chaque échelle l’estimation optimale du signal pour l’horizon et la profondeur d’échelles correspondants. Il a été implémenté sous Simulink et des exemples appliqués à des signaux académiques et réels sont présentés ici.

Dyadic wavelets transform allows to analyse important properties of a signal. One of its advantages is to remain unchanged after a translation : results do not depend on the current time. However, a random series of numbers can not be directly converted into a signal. Thus, the result of some useful operations (like regularisation or noise removal) on the converted signal, may not be interpreted directly itself as the image of a signal. To retrieve a signal, we look for the signal whose conversion into dyadic waves is closest to the data. This operation is called ”frame inverse”. Basically, it consists in solving a least-square problem. This operation usually needs a computation on the whole signal. This is not suitable for a real-time processing system, where the flow of data is continuous and has to be processed as it arrives. However, many applications of signal processing need the data to be processed as their arrive.
The report presents a frame inverse computation method which is recursive with respect to both time and scale. At every time and scale, the algorithm provides the optimal signal estimate for the related time horizon and scales depth. It has been implemented in Simulink, and examples which use both academic and real life signals are presented here.
= "r";var _rwObsfuscatedHref = _rwObsfuscatedHref0+_rwObsfuscatedHref1+_rwObsfuscatedHref2+_rwObsfuscatedHref3+_rwObsfuscatedHref4+_rwObsfuscatedHref5+_rwObsfuscatedHref6+_rwObsfuscatedHref7+_rwObsfuscatedHref8+_rwObsfuscatedHref9+_rwObsfuscatedHref10+_rwObsfuscatedHref11+_rwObsfuscatedHref12+_rwObsfuscatedHref13+_rwObsfuscatedHref14; document.getElementById("rw_email_contact").href = _rwObsfuscatedHref;