Les ondelettes dyadiques sont des ondelettes dont la dilatation vérifie une propriété spécifique.
Cette propriété permet d'implémenter les transformées par des bancs de filtres.
La définition des ondelettes dyadiques est basée sur celle des approximations multirésolutions.
Lors de la consultation de ces pages, vous avez certainement chargé des images au format GIF entrelacé. A l'écran s'affichent des versions de plus en plus détaillées de l'image.
Cette idée d'approximation successives à des résolutions de plus en plus fines se formalise sous la forme d'approximation (ou analyse) multirésolution.
Une suite Vj , j dans Z, de sous espaces vectoriels de L2(R) est une approximation multirésolution si les six propriétés suivantes sont vérifiées:
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Propriété |
Interprétation |
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Vj+1 est l'image de Vj par une dilatation d'un facteur 2 |
Il existe une grille fréquentielle sous-jacente en progression géométrique. |
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Pour tout j, Vj+1 est un sous-espace de Vj |
Un signal basse résolution est aussi un signal à haute résolution. |
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Vj est invariant par translation de 2j |
Il existe une grille temporelle sous-jacente par pas de 2j. Il aurait d'ailleurs suffi de donner la propriété pour j=0. |
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L'intersection des Vj est réduite à 0 dans L2. |
A résolution minimale, on perd toute l'image. |
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La réunion des Vj est dense dans L2. |
A résolution infinie, on reproduit parfaitement tous les signaux. |
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Il existe une fonction q telle que les translations entières de q forment une base de Riesz de V0. |
Chaque résolution est engendrée par une base d'atomes translatés de 2j. Une base de Riesz est une frame de vecteurs indépendants. |
Une définition moins littéraire est disponible.
Les dilatations de q ne modifient pas la surface de sa boîte de Heisenberg, mais modifie ses proportions de manière analogue aux boîtes d'ondelettes.
Les ondelettes permettent de représenter les détails gagnés lors du passage d'une résolution à la résolution plus fine suivante.