Présentation

Dans ce groupe de travail on adopte une approche « système » pour la modélisation , l'analyse et la commande des procédés dynamiques régis par des EDP. L'objectif est de regrouper et de croiser les expériences autour des systèmes de dimension infinie, en mélangeant des chercheurs de communautés différentes, chacune d'entre elle tirant bénéfice de l'expérience de l'autre. En particulier la communauté de l'ingénierie trouve des réponses à ses problèmes théoriques auprès de la communauté mathématicienne. D'autre part cette dernière s'enrichit de la physique et des applications réalistes pour améliorer ses développement théoriques et leur applicabilité. Une des particularités des activités du groupe réside dans l'aspect ouvert (entrées-sorties) des systèmes considérés contrairement à beaucoup de cas traités dans la littérature en physique ou en électromagnétisme. Enfin, il est courant que les systèmes régis par des EDP soient approximés par des systèmes de dimension finie pour leur traitement à base de méthodes issues de l'automatique classique. C'est un des thèmes abordés dans le cadre de ce groupe de travail. On s'intéresse en particulier à l'influence du choix de la méthode de discrétisation sur la dynamique du système considéré.

Sur le plan scientifique:

D'un point de vue scientifique, le traitement des systèmes de dimension infinie dépend du niveau de complexité du système initial et de la généricité des résultats désirés. Dans le cas non linéaire, peu de résultats généraux existent. Les travaux actuels portent sur l'analyse des propriétés des solutions grâce aux approches géométriques mais peu de résultats permettent d'évaluer l'existence théorique de ces dernières. On peut noter tout de même les travaux autour des systèmes de lois de conservation à l'aide des invariants de Riemann, qui permettent à partir de la méthode des caractéristiques de conclure à l'existence et la stabilité d'une trajectoire dans un voisinage donné. Ce type d'approche est développé autour des systèmes de canaux d'irrigation par les laboratoires de mathématique de l'Université d'Orsay et l'Université de Versailles Saint Quentin, le LAGEP (Université de Lyon), le LAAS (Toulouse), l'Université de Namur. L'analyse fonctionnelle est aussi utilisée pour l'analyse d'existence et de propriétés (commandabilité) des solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires particulières (Korteweg-de Vries par exemple). En parallèle à ces travaux, plusieurs équipes s'intéressent à la modélisation à proprement parler des systèmes ouverts régis par des EDP (linéaires ou non linéaires). On notera les approches basées sur la diffusivité développées à l'ENST (Paris), à l'ISAE (Toulouse), au LAAS (Toulouse) ainsi que la modélisation à laide de systèmes fonctionnels à l'INRIA Sophia Antipolis. On notera aussi le développement des approches Hamiltoniennes à port pour la modélisation des systèmes de dimension infinie ouverts dans le cas linéaire et non linéaire, au LAGEP (Lyon), FEMTO-ST/AS2M (Besançon) et l'Université de Twente (Pays Bas). Ces méthodes sont aussi utilisées pour la réduction des systèmes EDP afin de conserver certains invariants. Dans le cas linéaire la théorie des semigroupes permet l'obtention de résultats forts au niveau de l'analyse et la commande des systèmes régis par des EDP. L'accent est mis en particulier sur les problèmes de contrôle frontière dont la difficulté réside dans le fait de l'opérateur d'entrée est non borné. Ce formalisme, dit des systèmes abstraits, est le formalisme qui se rapproche le plus du formalisme d'état utilisé en dimension finie. Plusieurs laboratoires travaillent sur des problèmes de contrôle frontière à base de semigroupes: le LAGEP, l'INRIA-Institut Elie Cartan, le LAAS, le CASE Mines de Paris, le MAPMO, l'Université de Compiègne. De nombreux résultats novateurs sur les plans théoriques et applicatifs ont été mis en évidence au cours de ces quatre dernières années. En particulier l'approche Hamiltonienne à ports a permis d'établir des critères de stabilité pour une classe importante de systèmes linéaires de dimension infinie en dimension 1, couvrant les systèmes d'équations d'ondes, les poutres, les systèmes de diffusion etc … Un autre axe de recherche a porté sur la modélisation et la commande de systèmes fractionnaires à retard et/ou de type neutre. Ces travaux ont été développé en particulier par l'INRIA Rocquencourt, l'IRCCyN (Nantes), l'Université de Leeds. D'un point de vue applicatif, les approches mentionnées précédemment ont été appliquées sur de nombreux systèmes réels tels que des systèmes optiques, des canaux d'irrigation, des procédés d'adsorption, des réacteur tubulaires, des instruments à vent, des systèmes mécaniques de convoyages de fluides, des systèmes de surveillance de la houle marine, des systèmes quantiques et des systèmes éléctromagnétiques.