MINES ParisTech CAS - Centre automatique et systèmes

THEORIE DE PERRON-FROBENIUS NON-LINEAIRE ET APPLICATIONS : UNE INTRODUCTION

Séance du jeudi 21 avril 2016, Salle L 224, 15h00.

Stéphane GAUBERT, INRIA et CMAP, Ecole polytechnique, CNRS

THEORIE DE PERRON-FROBENIUS NON-LINEAIRE ET APPLICATIONS : UNE INTRODUCTION

La théorie de Perron-Frobenius non-linéaire s'intéresse à des dynamiques non-expansives pour des métriques associées à des cônes (métrique projective de Hilbert, métrique de Thompson, métrique de Funk). Ces dynamiques interviennent notamment en théorie des jeux (opérateurs de Shapley), mais aussi en contrôle (flots de Riccati) ou en vérification des systèmes (calcul d'invariants). Des questions de base concernent l'existence d'un point fixe dans l'intérieur du cône, l'unicité de celui-ci et la convergence des orbites vers ce point fixe (généralisation de la notion d'ergodicité pour les chaînes de Markov), ou bien l'étude de la fuite des orbites vers la frontières du cône. On présentera un survol de ces résultats, qui reposent sur diverses techniques: horobord et problèmes de point fixes non-linéaire, mais aussi combinatoire (hypergraphes). On concluera par une application
récente, dans laquelle un calcul d'invariants quadratiques de systèmes hybrides se ramène au calcul d'un vecteur propre non-linéaire d'un opérateur sur le cône des matrices définies positives, qui peut être vu comme un analogue tropical de l'opérateur de Kraus.

Bibliographie

* M. Akian, S. Gaubert, and R. Nussbaum. Uniqueness of the fixed point of nonexpansive semidifferentiable maps. Trans. of AMS, 368(2):1271-1320 2016.

* M. Akian, S. Gaubert, and A. Hochart. Ergodicity conditions for zero-sum games. Discrete and Continuous Dynamical Systems, series A, 35(9):3901–3931, 2015

* S. Gaubert and G. Vigeral. A maximin characterization of the escape rate of nonexpansive mappings in metrically convex spaces. Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc., 152 :341–363, 2012

* X. Allamigeon, S. Gaubert, E. Goubault, S. Putot, and N. Stott. A scalable algebraic method to infer quadratic invariants of switched systems. In 2015 International Conference on Embedded Software, EMSOFT 2015, Amsterdam, Netherlands, October 4-9, 2015, pages 75–84, 2015.