ÉTUDE DES PROBLÉMES DE STABILISATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE DIMENSION INFINIE
Topic: Stabilization | All
Séance du jeudi 20 juin 2013, Salle L224, 14h.
Alban QUADRAT, Chargé de Recherche, INRIA Saclay
Dans les années 80, Vidyasagar, Desoer, Callier, Francis, Zames, ..., ont développé une approche mathématique, appelée "représentation fractionnaire des systèmes", permettant l'étude des problèmes d'analyse et de synthèse pour de larges classes de systèmes linéaires (dimension finie et infinie, continus, discrets). Dans ce cadre, les concepts de stabilisation interne (existence d'un contrôleur stabilisant), stabilisation forte (existence d'un contrôleur stabilisant stable), stabilisation simultanée (existence d'un contrôleur stabilisant une famille finie de systèmes), stabilisation robuste (existence d'un contrôleur stabilisant l'ensemble des systèmes autour d'un système), ..., ont trouvé des caractérisations algébriques. Cette approche est à la base de la commande H^{\infty} des systèmes de dimension finie.
La généralisation de la commande H^{\infty} pour les systèmes linéaires de dimension infinie (e.g., systèmes différentiels à retard, équations aux dérivées partielles) a longuement été étudiée ces dernières années. Cependant, des problèmes fondamentaux restent encore ouverts.
Nous commencerons notre exposé par donner une courte introduction aux problèmes de stabilisation pour les systèmes de dimension infinie définis dans le domaine fréquentiel. Puis, nous montrerons comment l'utilisation de concepts algébriques modernes tels que les idéaux fractionnaires ou les réseaux algébriques sur certaines algèbres de Banach (e.g., H^{\infty}, A, A(D), W_+) permettent de caractériser les problèmes de stabilisation (interne, forte, simultanée, robuste). Cette approche nous permettra de résoudre des problèmes ouverts (e.g., question de Vidyasagar-Francis-Schneider, conjecture de Lin, conjecture de Feintuch). Ces résultats nous permettront de généraliser la célèbre paramétrisation de Youla-Kucera des contrôleurs stabilisants pour la classe de systèmes stabilisants n'admettant pas nécessairement de factorisations doublement copremières.
Nous expliquerons pourquoi des problèmes algébriques similaires à ceux étudiés ici pour les problèmes de stabilisation ont été à la base du développement de l'algèbre moderne (certains prenant leur source dans des tentatives de résolution du dernier théorème de Fermat). Finalement, nous montrerons comment les résultats précédents permettent d'étudier les problèmes de stabilisation des systèmes linéaires de dimension infinie par des méthodes venant de la géométrie non commutative de Connes.
Alban QUADRAT, Chargé de Recherche, INRIA Saclay
Dans les années 80, Vidyasagar, Desoer, Callier, Francis, Zames, ..., ont développé une approche mathématique, appelée "représentation fractionnaire des systèmes", permettant l'étude des problèmes d'analyse et de synthèse pour de larges classes de systèmes linéaires (dimension finie et infinie, continus, discrets). Dans ce cadre, les concepts de stabilisation interne (existence d'un contrôleur stabilisant), stabilisation forte (existence d'un contrôleur stabilisant stable), stabilisation simultanée (existence d'un contrôleur stabilisant une famille finie de systèmes), stabilisation robuste (existence d'un contrôleur stabilisant l'ensemble des systèmes autour d'un système), ..., ont trouvé des caractérisations algébriques. Cette approche est à la base de la commande H^{\infty} des systèmes de dimension finie.
La généralisation de la commande H^{\infty} pour les systèmes linéaires de dimension infinie (e.g., systèmes différentiels à retard, équations aux dérivées partielles) a longuement été étudiée ces dernières années. Cependant, des problèmes fondamentaux restent encore ouverts.
Nous commencerons notre exposé par donner une courte introduction aux problèmes de stabilisation pour les systèmes de dimension infinie définis dans le domaine fréquentiel. Puis, nous montrerons comment l'utilisation de concepts algébriques modernes tels que les idéaux fractionnaires ou les réseaux algébriques sur certaines algèbres de Banach (e.g., H^{\infty}, A, A(D), W_+) permettent de caractériser les problèmes de stabilisation (interne, forte, simultanée, robuste). Cette approche nous permettra de résoudre des problèmes ouverts (e.g., question de Vidyasagar-Francis-Schneider, conjecture de Lin, conjecture de Feintuch). Ces résultats nous permettront de généraliser la célèbre paramétrisation de Youla-Kucera des contrôleurs stabilisants pour la classe de systèmes stabilisants n'admettant pas nécessairement de factorisations doublement copremières.
Nous expliquerons pourquoi des problèmes algébriques similaires à ceux étudiés ici pour les problèmes de stabilisation ont été à la base du développement de l'algèbre moderne (certains prenant leur source dans des tentatives de résolution du dernier théorème de Fermat). Finalement, nous montrerons comment les résultats précédents permettent d'étudier les problèmes de stabilisation des systèmes linéaires de dimension infinie par des méthodes venant de la géométrie non commutative de Connes.